Archivio della categoria: Matematica

Un cuore in funzione per San Valentino

5 mesi fa

Incuriosito dal commento sulle cardioidi in un post di .mau., ho fatto qualche ricerca per scoprire quali sono le curve che meglio approssimano la forma simbolica che associamo al cuore (studiosi di anatomia esclusi).

A giudicare da un articolo trovato su MathWorld, le possibilità sono molteplici.

Ed ispirato dal mio romanticismo da nerd, ho scritto il codice R1 per tracciare alcune di queste curve e realizzare dei grafici d’auguri per Alessandra (che è così disperata favolosa da apprezzare anche questo genere di cose :-).

Heart in R

[1] lo trovate in questo repo su GitHub

Il problema del bombo viaggiatore…

2 anni fa

Insetti davvero interessanti i bombi. La loro attività di impollinatori li rende un elemento indispensabile per ecosistemi naturali ed agricoltura, e per lungo tempo la loro capacità di volare è stata considerata un mistero dell’aerodinamica, a causa delle (apparentemente) insufficienti ampiezza e frequenza di battito delle ali ([2]).
Più recentemente, uno studio ([1]) realizzato da ricercatori del Queen Mary College di Londra ha evidenziato come i bombi siano in grado di identificare il percorso più breve che unisce i fiori disposti secondo un certo schema, anche quando li raggiungono partendo da un diverso punto iniziale.
In altre parole riescono a risolvere quello che viene definito il Problema del commesso viaggiatore (Travelman Sales Problem, TSP), in cui si ricerca il tragitto più breve possibile che consente di visitare tutte le città di una rete, passando una sola volta per ciascuna di esse.
Gli algoritmi matematici risolvono il problema calcolando e confrontando tutti i possibili cammini, operazione lunga ed onerosa dal punto di vista computazionale; nel 2001 la risoluzione del TSP applicato a 15112 città tedesche ha richiesto l’equivalente di 22.6 anni di computer time (500 MHz).

Per il cervello dei bombi, delle dimensioni di una capocchia di spillo, sembrerebbe quindi un problema impossibile da affrontare.
Nella ricerca di risorse distribuite in modo casuale, la maggior parte degli animali utilizza l’approccio più semplice, seguendo percorsi (sub-)ottimali muovendosi verso i punti più vicini non ancora visitati.
I bombi viceversa adottano, nei loro voli di impollinazione, una strategia più elaborata.

Per studiarla, i ricercatori hanno costruito un’apparato sperimentale contenente sei fiori artificiali, disposti in modo che i movimenti verso il successivo più vicino conducessero i bombi a seguire un percorso non ottimale.

Nel corso degli 80 tentativi, migliorando la conoscenza della disposizione dei fiori, gli insetti hanno ridotto progressivamente la distanza volata.
E, aspetto ancora più sorprendente, non hanno quasi mai adottato la strategia di seguire il fiore più vicino a quello appena visitato, privilegiando cammini alla lunga più vantaggiosi dal punto di vista del consumo energetico.

La conclusione dello studio è che i bombi sono in grado di risolvere complessi problemi di routing basandosi sull’esperienza precedente e non su una sofisticata rappresentazione cognitiva dello spazio.

Questo è il codice R per ottenere i percorsi mediante l’algoritmo 2-opt ed i grafici corrispondenti (con ggplot2):

library(TSP)
library(ggplot2)
bumblebee <- data.frame(c(310,130,30,310,620,680,440),c(220,220,850,600,620,70,200))
names(bumblebee) <- c("x","y")
attach(bumblebee)
bumblebeeDistancematrix <- dist(bumblebee)
bumblebeeDistancematrix.tsp <- TSP(bumblebeeDistancematrix)
# calculate shortest path with 2-opt method
bumblebeeDistancematrix.path <- solve_TSP(bumblebeeDistancematrix.tsp, method="2-opt", control=list(tour=c(1,2,3,4,5,6,7)))
bumblebeeDistancematrix.tour <- as.vector(bumblebeeDistancematrix.path)
# lenght of the tour
as.integer(bumblebeeDistancematrix.tour)
bumblebeeN <- data.frame(bumblebee[as.integer(bumblebeeDistancematrix.tour),], ID=c(1:6,"N"))
base_size <- 9
# shortest path graph
p <- ggplot(bumblebee[as.integer(bumblebeeDistancematrix.tour),], aes(x,y))
p + geom_path() + geom_segment(aes(xend=310, x=440,yend=220, y=200), arrow=arrow(length = unit(0.25, "cm"))) + geom_point(aes(x+25,y+35, shape=bumblebeeN$ID), size=3) + scale_shape_manual(values = as.character(bumblebeeN$ID)) + opts(legend.position = "none", axis.ticks = theme_blank(), axis.text.x = theme_blank(), axis.text.y = theme_blank(), plot.title = theme_blank()) + xlab("") + ylab("")
# longest path
bumblebeeDistancematrix.long.tour <- c(1,2,4,5,6,3,7)
bumblebeeL <- data.frame(bumblebee[as.integer(bumblebeeDistancematrix.long.tour),], ID=c(1,2,4,5,6,3,"N"))
# longest path graph
g <- ggplot(bumblebee[as.integer(bumblebeeDistancematrix.long.tour),], aes(x,y))
g + geom_path() + geom_segment(aes(xend=310, x=440,yend=220, y=200), arrow=arrow(length = unit(0.25, "cm"))) + geom_point(aes(x+25,y+35, shape=as.character(c(1,2,3,4,5,6,"N"))), size=3) + scale_shape_manual(values = as.character(c(1,2,4,5,6,3,"N"))) + opts(legend.position = "none", axis.ticks = theme_blank(), axis.text.x = theme_blank(), axis.text.y = theme_blank(), plot.title = theme_blank()) + xlab("") + ylab("")

Il pacchetto TSP mette a disposizione diversi algoritmi per l’identificazione dei percorsi ottimali, utilizzabili specificandone il nome nella funzione solve_TSP.
È disponibile inoltre un’interfaccia per l’integrazione con Concorde (da installare separatamente), il software più veloce per la soluzione di TSP.

Fonti:
1
Lihoreau M, Chittka L, Le Comber SC, & Raine NE (2012). Bees do not use nearest-neighbour rules for optimization of multi-location routes. Biology letters, 8 (1), 13-6 PMID: 21849311
2
Jane Wang, Z. (2000). Two Dimensional Mechanism for Insect Hovering Physical Review Letters, 85 (10), 2216-2219 DOI: 10.1103/PhysRevLett.85.2216
3
National Geographic Italia
4
Bumblebee image courtesy of Wikipedia

Ig Nobel 2011…

3 anni fa

Ecco come ogni anno i vincitori degli Ig Nobel, premi conferiti agli autori di ricerche scientifiche od iniziative inusuali e (talvolta) apparentemente inutili, ma di certo divertenti (anche se a mio parere un po’ meno rispetto alle passate edizioni).

Psicologia: Anna Wilkinson, Natalie Sebanz, Isabella Mandl e Ludwig Huber per uno studio sulla contagiosità degli sbadigli, condotto osservando i comportamenti di sette tartarughe a zampe rosse, animali notoriamente poco empatici.

Chimica: Makoto Imai, Naoki Urushihata, Hideki Tanemura, Yukinobu Tajima, Hideaki Goto, Koichiro Mizoguchi e Junichi Murakami, per aver determinato l’esatto valore di densità nell’aria del wasabi (ravanello giapponese piccante) in grado di svegliare delle persone in caso di incendio od altre emergenze, e per aver applicato questa scoperta all’invenzione dell’allarme a wasabi.

Medicina: Mirjam Tuk, Debra Trampe, Luk Warlop, Matthew Lewis, Peter Snyder, Robert Feldman, Robert Pietrzak, David Darby e Paul Maruff per aver dimostrato che le persone prendono decisioni migliori in alcuni casi, e peggiori in altri, quando hanno un desiderio impellente di urinare.

Psicologia: Karl Halvor Teigen per aver cercato di comprendere perchè, nella vita di tutti i giorni, le persone sospirano.

Letteratura: John Perry per la sua teoria della “Procrastinazione strutturata”, secondo la quale per raggiungere obiettivi elevati, bisogna lavorare sempre su un compito importante, concentrandosi su di esso in modo da evitare di fare qualcosa che sia persino più importante.

Biologia: Darryl Gwynne e David Rentz per aver scoperto che gli individui maschi di un certo tipo di coleotteri cercano di accoppiarsi con le bottiglie di birra di una specifica marca australiana.

Fisica: Philippe Perrin, Cyril Perrot, Dominique Deviterne, Bruno Ragaru e Herman Kingma per aver determinato perchè, dopo il lancio, i lanciatori del disco avvertono dei capogiri, mentre questo non accade ai lanciatori del martello.

Matematica: Dorothy Martin (che ha predetto che la fine del mondo sarebbe avvenuta nel 1954), Pat Robertson (che ha predetto che la fine del mondo sarebbe avvenuta nel 1982), Elizabeth Clare Prophet (che ha predetto che la fine del mondo sarebbe avvenuta nel 1990), Lee Jang Rim (che ha predetto che la fine del mondo sarebbe avvenuta nel 1992), Credonia Mwerinde (che ha predetto che la fine del mondo sarebbe avvenuta nel 1999) e Harold Camping (che ha predetto che la fine del mondo sarebbe avvenuta il 6 Settembre 1994, e successivamente il 21 Ottobre 2011), per aver insegnato al mondo di essere molto cauti quando in matematica si fanno certe assunzioni e calcoli.

Pace: Arturas Zuokas (sindaco di Vilnius, Lituania), per aver dimostrato che il problema del parcheggio abusivo delle macchine di lusso può essere risolto schiacciandole passandoci sopra con un carro armato.

Pubblica sicurezza: John Senders per aver condotto una serie di esperimenti sulla sicurezza in cui una persona guida un’automobile su un’autostrada mentre un’aletta parasole gli sbatte ripetutamente sul viso, accecandolo.

Fonti:
‘No Evidence Of Contagious Yawning in the Red-Footed Tortoise Geochelone carbonaria,” Anna Wilkinson, Natalie Sebanz, Isabella Mandl, Ludwig Huber, Current Zoology, vol. 57, no. 4, 2011. pp. 477-84

Tuk MA, Trampe D, & Warlop L (2011). Inhibitory spillover: increased urination urgency facilitates impulse control in unrelated domains. Psychological science, 22 (5), 627-33 PMID: 21467548

Lewis MS, Snyder PJ, Pietrzak RH, Darby D, Feldman RA, & Maruff P (2011). The effect of acute increase in urge to void on cognitive function in healthy adults. Neurourology and urodynamics, 30 (1), 183-7 PMID: 21058363

Teigen KH (2008). Is a sigh “just a sigh”? Sighs as emotional signals and responses to a difficult task. Scandinavian journal of psychology, 49 (1), 49-57 PMID: 18190402

“How to Procrastinate and Still Get Things Done,” John Perry, Chronicle of Higher Education, February 23, 1996. Later republished elsewhere under the title “Structured Procrastination

Gwynne, D., & Rentz, D. (1983). BEETLES ON THE BOTTLE: MALE BUPRESTIDS MISTAKE STUBBIES FOR FEMALES (COLEOPTERA) Australian Journal of Entomology, 22 (1), 79-80 DOI: 10.1111/j.1440-6055.1983.tb01846.x

Philippe Perrin, Cyril Perrot, Domi, . (2000). Dizziness in Discus Throwers is Related to Motion Sickness Generated While Spinning Acta Oto-laryngologica, 120 (3), 390-395 DOI: 10.1080/000164800750000621

“The Attentional Demand of Automobile Driving,” John W. Senders, et al., Highway Research Record, vol. 195, 1967, pp. 15-33

Un algoritmo per ordinare i nomi del 9/11 Memorial…

3 anni fa

Il prossimo 11 settembre, nella ricorrenza del decimo anniversario dell’attentato alle Twin Towers di New York, verrà inaugurato il monumento commemorativo National September 11 Memorial.
La struttura è situata presso il New World Trade Center ed è caratterizzata da due reflecting pools, enormi superfici d’acqua poste in corrispondenza della posizione occupata in precedenza dalle due torri ed alimentate da cascate lungo tutto il loro perimetro.
Sui parapetti attorno ad esse sono posizionati dei pannelli di bronzo con incisi i nomi delle circa 3000 vittime degli attentati dell’undici settembre 2011 e del 26 febbraio 1993.

Il posizionamento dei nomi, apparentemente casuale, è basato invece sulle migliaia di relazioni interpersonali nate prima (ed in alcuni casi durante) gli attacchi.
Utilizzando le informazioni sui rapporti lavorativi e personali, oltre ai suggerimenti forniti da parenti, colleghi e amici delle vittime, i responsabili dell’ordinamento dei nomi hanno costruito un enorme database delle possibili adiacenze.

Questi dati sono stati poi elaborati mediante degli algoritmi dedicati.
Nella prima fase dell’analisi (in pratica una cluster analysis) i nomi corrispondenti ai diversi individui sono stati raggruppati in base alla “distanza” intercorrente tra essi.
In altre parole, tanto più una persona era legata per qualche motivo ad un’altra, tanto maggiore sarà la probabilità che entrambe vengano inserite nel medesimo raggruppamento.
Alcuni di questi gruppi erano tuttavia ancora troppo grandi e mal definiti per consentire un semplice posizionamento ordinato.

Per superare questo problema, nella seconda fase dell’analisi è stato utilizzato un algoritmo in grado di distribuire al meglio sui pannelli tutti i raggruppamenti, iniziando il posizionamento di quelli più numerosi e riempiendo poi gli spazi rimasti vuoti tra essi con quelli più piccoli.
Nel complesso si è trattato quindi di risolvere una sorta di puzzle con pezzi molto disomogenei tra loro.

Sebbene l’elaborazione abbia richiesto circa un mese, altri ne sono seguiti per arrivare ad una disposizione definitiva.
Sono state necessarie infatti ulteriori modifiche per soddisfare alcuni requisiti tipografici, ad esempio per la non ottimale disposizione di alcuni nomi al passaggio tra un pannello e il successivo.

L’idea alla base del memoriale è di ricordare ed onorare le vittime dando un senso più profondo ad un asettico elenco di nomi.
E quale miglior modo, nell’epoca dei social network, che farlo utilizzando le relazioni interpersonali?

Come ravvivare una cena noiosa…

4 anni fa

“Ho due bambini.
Uno è un maschio, ed è nato di martedì.
Qual’è la probabilità che io abbia due maschi?”

Il fatto che sia nato di martedì, apparentemente superfluo, è l’aspetto che crea più scompiglio (soprattutto tra chi non ha un’infarinatura di statistica) e che può far degenerare la discussione :-)

Per i più curiosi, la soluzione è qui.

I numeri dietro a Numb3rs…

4 anni fa

Da grande fan della serie Numb3rs, telefilm che come pochi altri ha saputo stimolare il mio interesse sugli argomenti trattati nelle diverse puntate, non potevo lasciarmi scappare il libro “The Numbers Behind Numb3rs: Solving Crime with Mathematics“, scritto da Keith Devlin e Dr. Gary Lorden (uno dei matematici consulenti del telefilm).
Trattandosi di un libro di divulgazione per un pubblico “non specialista”, gli autori hanno limitato per quanto possibile l’utilizzo di terminologia specifica e notazioni matematiche al minimo indispensabile, cercando piuttosto di spiegare le idee e gli approcci alla base di ciascun metodo utilizzato negli episodi.
Questa impostazione rende il libro comprensibile (con una certa dose d’impegno) anche per chi non ha solide basi matematiche e vuole solo comprendere un po’ meglio l’aspetto più misterioso (e affascinante, oltre ad Amita :-) del telefilm.
Chi invece ha già un discreto bagaglio di conoscenze matematico/statistiche troverà un gran numero di spunti di riflessione, soprattutto perchè vengono applicate nell’ambito poco usuale delle indagini criminali, relative sia a casi fittizi che reali.

Da una recensione su Amazon:

You will read an introduction to geographic profiling, Rossmo’s formula, statistics (hypothesis testing, statistics usage in the courtroom, and bias), data mining (link analysis, geometric clustering, software agents, machine learning, and neural networks), face recognition, changepoint detection, image reconstruction and image enhancement, Bayes method, DNA profiling, cryptography, fingerprint matching, graph theory and networks, risk assessment (cargo and passenger screening), the math in analyzing witness testimony, detecting forgery, and jury selection, and the math behind gambling and casino games.

Per chi volesse approfondire ulteriormente gli aspetti matematici di Numb3rs, segnalo questi siti decisamente succulenti: